probabilitas dan statistik

 

tugas individu 5

Rumus Distribusi Normal:

Kita gunakan rumus Z-score:

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$

---

1. Berapa mahasiswa yang memiliki skor TOEFL di atas 500?

$$Z=\frac{500-475}{15}=\frac{25}{15}=1.67$$

Dari tabel Z, P(Z < 1.67) ≈ 0.9525
Maka P(Z > 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475

$$\text{Jumlah mahasiswa}=0.0475\times 100=\boxed{{\displaystyle 5}}\text{ mahasiswa}$$

---

2. Berapa mahasiswa yang belum mampu mencapai skor TOEFL 425?

$$Z=\frac{425-475}{15}=\frac{-50}{15}=-3.33$$

Dari tabel Z, P(Z < -3.33) ≈ 0.0004

$$\text{Jumlah mahasiswa}=0.0004\times 100=\boxed{{\displaystyle 0}}\text{ mahasiswa (dibulatkan)}$$

---

3. Berapa jumlah skor TOEFL 10% mahasiswa yang memiliki TOEFL tertinggi?

Kita cari nilai TOEFL untuk persentil ke-90 (Z ≈ 1.28):

$$X=Z\sigma +\mu =1.28\times 15+475=19.2+475=\boxed{{\displaystyle 494.2}}$$

Jadi, skor minimum untuk 10% teratas adalah sekitar 494,2.

---

4. Berapa % mahasiswa yang memperoleh TOEFL antara 495–525?

• Untuk 495:

  $$Z=\frac{495-475}{15}=1.33\Rightarrow P(Z<1.33)\approx 0.9082$$

• Untuk 525:

  $$Z=\frac{525-475}{15}=3.33\Rightarrow P(Z<3.33)\approx 0.9996$$

$$P(495<X<525)=0.9996-0.9082=\boxed{{\displaystyle 0.0914\text{ atau }9.14\mathrm{\%}}}$$

---

5. Berapa mahasiswa yang mampu memperoleh skor TOEFL antara 450–500?

• Untuk 450:

  $$Z=\frac{450-475}{15}=-1.67\Rightarrow P(Z<-1.67)\approx 0.0475$$

• Untuk 500:

  $$Z=1.67\Rightarrow P(Z<1.67)\approx 0.9525$$

$$P(450<X<500)=0.9525-0.0475=0.905$$$$\text{Jumlah mahasiswa}=0.905\times 100=\boxed{{\displaystyle 91}}\text{ mahasiswa}$$

---

6. Berapa proporsi mahasiswa yang mampu mendapatkan skor 450?

Kita cari probabilitas tepat satu nilai (450) dalam distribusi kontinu. Dalam distribusi normal, probabilitas pada satu titik adalah:

$$P(X=450)=0$$

Namun jika maksudnya ≥ 450, maka:

$$Z=\frac{450-475}{15}=-1.67\Rightarrow P(Z<-1.67)=0.0475\Rightarrow P(Z\ge -1.67)=1-0.0475=\boxed{{\displaystyle 0.9525\text{ atau }95.25\mathrm{\%}}}$$

---

Ringkasan Jawaban:

1. 5 mahasiswa

2. 0 mahasiswa

3. Skor ≥ 494,2 untuk 10% tertinggi

4. 9,14% mahasiswa

5. 91 mahasiswa

6. 95,25% mahasiswa (yang mendapat ≥ 450)